问题引入：求下式极限
limt→∞t(ent−1),n∈N+\lim_{t\to\infty}t(e^{\frac{n}{t}}-1),n\in N_+ t→∞lim t(etn −1),n∈N+
由自然常数的定义得
ent−1=[(1+1t)t]nt−1=(1+1t)n−1\begin{align*} &e^{\frac{n}{t}}-1\\ =&[(1+\frac{1}{t})^t]^\frac{n}{t}-1\\ =&(1+\frac{1}{t})^n-1 \end{align*} == etn −1[(1+t1 )t]tn −1(1+t1 )n−1
由二项式定理得
(1+1t)n−1=∑i=0nCniti−1=∑i=1nCniti\begin{align*} &(1+\frac{1}{t})^n-1\\ =&\sum_{i=0}^{n}\frac{C_{n}^{i}}{t^i}-1\\ =&\sum_{i=1}^{n}\frac{C_{n}^{i}}{t^i} \end{align*} == (1+t1 )n−1i=0∑n tiCni −1i=1∑n tiCni
则原式极限为
t(ent−1)=t∑i=1nCniti=∑i=1nCniti−1=Cn1=n\begin{align*} &t(e^{\frac{n}{t}}-1)\\ =&t\sum_{i=1}^{n}\frac{C_{n}^{i}}{t^i}\\ =&\sum_{i=1}^{n}\frac{C_{n}^{i}}{t^{i-1}}\\ =&C_n^1\\ =&n \end{align*} ==== t(etn −1)ti=1∑n tiCni i=1∑n ti−1Cni Cn1 n
那么请问，当 nnn 不为正整数时，上述推论还成立吗？评论区发表你的看法。
