0.前言
相信大家之前刷到过这样的视频（如果我没刷到那也不可能有这篇文章），一个 S=1+2+3+...S = 1 + 2 + 3 + ...S=1+2+3+... 这样一直加下去 S=−112S=- \frac{1}{12}S=−121 ，在我们的认知中，所有正整数一直加下去，最后的结果肯定是正无穷，再怎么离谱，也不会一个负数，还是一个分数，但是听说这个数在物理一些领域确实中有着实际的意义。
他们的证明方法是什么呢？一起来看看到底它是什么不为人知的秘密？还是一个乱说一通呢？
> 警告:本文涉及部分高中知识。请谨慎阅读
1. 证明
1.1 第一步：
设 A=1−1+1−1+1−1+1−......A = 1-1+1-1+1-1+1-......A=1−1+1−1+1−1+1−......，那么AAA等于多少呢？
我们将第一个1后面的式子括起来就是：A=1−(1−1+1−1+1−1+1...)A = 1-(1-1+1-1+1-1+1...)A=1−(1−1+1−1+1−1+1...)。
这里我们就发现，括号里面的东西，就是上面的AAA
所以 A=1−AA=1-AA=1−A，得出 A=12A=\frac{1}{2}A=21
1.2 第二步
设 B=1−2+3−4+5−6+7−8......B=1-2+3-4+5-6+7-8......B=1−2+3−4+5−6+7−8...... 那这个等于多少呢？
我们将两个B错位相加，如下：
B=1−2+3−4+5−6+7−8....B=1-2+3-4+5-6+7-8 ....B=1−2+3−4+5−6+7−8....
B=1−2+3−4+5−6+7....B =\quad \quad 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7....B=1−2+3−4+5−6+7....
我们就可以发现 2B=1−1+1−1+1−1+1.....2B=1-1+1-1+1-1+1.....2B=1−1+1−1+1−1+1..... ,是不是有点眼熟，其实就是 AAA，根据上面的 A=12A=\frac{1}{2}A=21 ，得出 B=14B=\frac{1}{4}B=41
1.3 第三步
设 S=1+2+3+4+5+6+7+8......S=1+2+3+4+5+6+7+8......S=1+2+3+4+5+6+7+8......，也就是我们想求的。
然后让 SSS 和 4S4S4S 错位相减，如下：
S=1+2+3+4+5+6+7+8...S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8...S=1+2+3+4+5+6+7+8...
4S=4+8+12+16.....4S= \quad 4 \quad +\quad 8 \quad + \quad 12 \quad + 16.....4S=4+8+12+16.....
所以 −3S=1−2+3−4+5−6+7−8.....-3S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8.....−3S=1−2+3−4+5−6+7−8.....，根据上面的 B=14B=\frac{1}{4}B=41 ，得出 S=−112S=- \frac{1}{12}S=−121 。
所以1+2+3+4+5+6+7+8......=−1121+2+3+4+5+6+7+8......=- \frac{1}{12}1+2+3+4+5+6+7+8......=−121 .
2. 分析问题所在
震惊啊，所有正整数相加居然是个负的分数，数学理论难道错了吗?
是不是感觉不能这么证明，这个证明有问题，但是说不出具体问题在哪。
其实学过高等数学的朋友应该知道，整个过程，第一步就是错误的！对于A=1−1+1−1+1−1+1−.....A = 1-1+1-1+1-1+1-.....A=1−1+1−1+1−1+1−.....我们肯定不能这样求和了，A是1和0这两个数之间不断跳跃的数字，他并不像其他的求和那样，随着求和的项越多，越逼近某个数。也就是我们所说的AAA并不收敛，而是发散的。只有收敛的式子才有资格写出具体等于多少，类似的 BBB 和 SSS 都是发散的，他们根本就没有资格使用括号，或者错位相减的方法求和！
这里我就举个例子，如果 F=1+1+1+1+1....F=1+1+1+1+1....F=1+1+1+1+1....，我们同样用刚刚求 AAA 的方法：
F=1+(1+1+1+1...)F=1+(1+1+1+1...)F=1+(1+1+1+1...)
所以 F=1+FF = 1+FF=1+F ，所以1=01=01=0 了
荒谬吧，所以对于发散的式子，我们肯定不能这样来搞的。
所以，上面那种证明方法不严谨。
3. 物理中的意义
卡西米尔效应，对于上面 S=−112S=- \frac{1}{12}S=−121 的物理意义，卡西米尔效应中确实有这个数据。
那卡西米尔效应是什么呢？简单说，就是真空中两个隔的非常近的金属板，他们之间会产生吸引力。难道是万有引力？并不是，这个是由于真空量子涨落带来的力。
那什么又是真空量子涨落，简单来说在某个极短的时间里，就会出现随机波长的正能量和负能量的驻波，驻波的话只有金属板距离是波长整数倍的驻波才能留在金属板之间，比如金属板距离 101010 纳米，波长为 111 纳米、222 纳米、103\frac{10}{3}310 纳米、555 纳米等等的才能存在金属板之间。
假设是波长是一倍的，产生的力就是 1F1F1F、222 倍波长就是2F2F2F，以此类推，那么金属板间无数个整数倍波长力量就是F+2F+3F+.....=F(1+2+3+4+5.....)=SFF + 2F + 3F + ..... = F(1 + 2 + 3 + 4 + 5.....)=SFF+2F+3F+.....=F(1+2+3+4+5.....)=SF，按理说，这个力是无穷大的力，但是实际测量结果居然是−112F- \frac{1}{12}F−121 F！！！这就是支持S=−112S=- \frac{1}{12}S=−121 那些人的证据。
不仅仅是真空量子涨落中，在弦理论中也经常用到全体自然数之和等于 −112- \frac{1}{12}−121 这个结论，就比如弦理论中的光子质量想要为0，那么就必须让全体自然数之和等于 −112- \frac{1}{12}−121 。
其实 S=−112S=- \frac{1}{12}S=−121 这个就是物理上的重整化，让我们能够将这种发散的求和，在计算实际的物理问题的时候，依然得到有意义的结果。
所以，对于这种并不完善的计算方法，我们只能这样重整化的计算，但是并不影响实际结果。所以对于 S=−112S=- \frac{1}{12}S=−121 ，只是重整化后的结果，这个等于并不是真正数学意义上的相等，而只是认知世界意义上的等价。
4.完结撒花
@AC君 请求加精
