Update：正整数 -> 正数，我是猪。
Update：修改了解决这类问题的条件。
题目：给定三个数 a,b,ta,b,ta,b,t，满足 a,b,t>0a,b,t\gt 0a,b,t>0，请你求出 f(x)=ax2+t−bx(x>0)f(x)=a\sqrt{x^2+t}-bx (x\gt 0)f(x)=ax2+t −bx(x>0) 的最小值。你说得对，但是这是数学题。
我的解法不会涉及次数大于二的整式运算。不知道有没有涉及微积分啥玩意的。反正选择填空题好用就完了。
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斜率二分
一种 OI 常用的算法。
具体来说，对于单谷函数 f(x)f(x)f(x)，有如下方法快速找出最小值的近似值：
* 指定一个很小的数 eps\text{eps}eps，通常为 10−1010^{-10}10−10 级别。
* 二分找到最小的 nnn 使得 f(n+eps)>f(n)f(n+\text{eps})\gt f(n)f(n+eps)>f(n)。此时 f(n)f(n)f(n) 即为 fff 最小值的近似值。
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大致思路
注意到这道题的 f(x)f(x)f(x) 也满足是一个单谷函数，并且没有点斜率为 000。
对于这道题，我们可以运用类似的方法。我们假设 eps\text{eps}eps 为一个正数，然后解不等式求出 xxx 与 eps\text{eps}eps 的关系，最后将 eps\text{eps}eps 取到将近为 000 即可得出 f(x)f(x)f(x) 的最小值。
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应用
来自今天数学周测第 13 题。图懒得画。
在菱形 ABCD\text{ABCD}ABCD 中，∠ DAB=60°,AB=4\angle\text{ DAB}=60\degree,\text{AB}=4∠ DAB=60°,AB=4。连接 AC\text{AC}AC，并在 AC\text{AC}AC 上取一点 P\text{P}P。求 AP+BP+DP\text{AP+BP+DP}AP+BP+DP 的最小值。
显然可以转化成在一个 ∠ C=30°,∠ B=90°\angle\text{ C}=30\degree,\angle\text{ B}=90\degree∠ C=30°,∠ B=90° 的直角三角形 ABC\text{ABC}ABC 中，长边取一点 P\text{P}P，求 2AP+CP\text{2AP+CP}2AP+CP 的最小值。
设 BP=x\text{BP}=xBP=x，则可以转化成求 f(x)=2x2+4−x+23(x>0)f(x)=2\sqrt{x^2+4}-x+2\sqrt 3 (x\gt 0)f(x)=2x2+4 −x+23 (x>0) 的最小值。
假设正数 n>0,eps>0n\gt 0,\text{eps}\gt 0n>0,eps>0，其中 f(n)f(n)f(n) 为所有 f(x)f(x)f(x) 中的最小值。
则有：
f(n+eps)>f(n)2n2+4−n+23>2(n+2eps)2+4−(n+2eps)+232n2+4>2(n+2eps)2+4−2epsn2+4>(n+2eps)2+4−epsn2+4+eps>(n+2eps)2+4n2+4+eps2+2epsn2+4>n2+4n×eps+4eps2+42epsn2+4>4n×eps+3eps22n2+4>4n+3eps2n2+4−4n>3epsf(n+\text{eps})\gt f(n)\\ 2\sqrt{n^2+4}-n+2\sqrt 3\gt 2\sqrt{(n+\text{2eps})^2+4}-(n+\text{2eps})+2\sqrt
3\\ 2\sqrt{n^2+4}\gt 2\sqrt{(n+\text{2eps})^2+4}-\text{2eps}\\ \sqrt{n^2+4}\gt \sqrt{(n+\text{2eps})^2+4}-\text{eps}\\ \sqrt{n^2+4}+\text{eps}\gt \sqrt{(n+\text{2eps})^2+4}\\ n^2+4+\text{eps}^2+2\text{eps}\sqrt{n^2+4}\gt n^2+4n\times\text{eps}+4\text{eps}^2+4\\ 2\text{eps}\sqrt{n^2+4}\gt
4n\times\text{eps}+3\text{eps}^2\\ 2\sqrt{n^2+4}\gt 4n+3\text{eps}\\ 2\sqrt{n^2+4}-4n\gt 3\text{eps}\\ f(n+eps)>f(n)2n2+4 −n+23 >2(n+2eps)2+4 −(n+2eps)+23 2n2+4 >2(n+2eps)2+4 −2epsn2+4 >(n+2eps)2+4 −epsn2+4 +eps>(n+2eps)2+4 n2+4+eps2+2epsn2+4 >n2+4n×eps+4eps2+42epsn2+4 >4n×eps+3eps22n2+4
>4n+3eps2n2+4 −4n>3eps
对于任意 eps>0\text{eps}\gt 0eps>0，都有 2n2+4−4n>3eps2\sqrt{n^2+4}-4n\gt 3\text{eps}2n2+4 −4n>3eps。
所以 2n2+4−4n≥02\sqrt{n^2+4}-4n\ge 02n2+4 −4n≥0，解得 n≥233n\ge \frac{2\sqrt 3}{3}n≥323 。
同理，对于所有 eps>0\text{eps}\gt 0eps>0，有 f(n−eps)>f(n)f(n-\text{eps})\gt f(n)f(n−eps)>f(n)，解得 n≤233n\le \frac{2\sqrt 3}{3}n≤323 。
所以当 x=233x=\frac{2\sqrt 3}{3}x=323 时，f(x)f(x)f(x) 取到最小值 434\sqrt 343 。
故答案为 434\sqrt 343 。
