进制与进制转换

一、进制是什么

1.1 为什么需要进制

我们日常写数时，使用的是“十进制”，因为我们习惯用 $0\sim 9$ 这 $10$ 个符号来表示数。
但在计算机中，最容易表示的是“只有两种状态”（开/关、真/假），因此计算机更常用“二进制”。
为了书写方便，又常把二进制用“八进制”和“十六进制”进行简写。

1.2 常见进制与数字符号

1. 十进制（$base=10$）：$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
2. 二进制（$base=2$）：$0,1$
3. 八进制（$base=8$）：$0,1,2,3,4,5,6,7$
4. 十六进制（$base=16$）：$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$
   其中：$A=10,\ B=11,\ C=12,\ D=13,\ E=14,\ F=15$

1.3 “逢 $base$ 进 $1$”的含义

任何进制都遵循同一个规则：
当某一位“凑满 $base$”，就向前一位进 $1$，当前位回到 $0$。

举例说明：

• 十进制：$9$ 后面是 $10$（逢 $10$ 进 $1$）
• 二进制：$1$ 后面是 $10$（逢 $2$ 进 $1$）
• 八进制：$7$ 后面是 $10$（逢 $8$ 进 $1$）
• 十六进制：$F$ 后面是 $10$（逢 $16$ 进 $1$）

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二、进制的常用表示符号

2.1 末尾字母标注：$B/O/D/H$

有些教材或题面会用末尾字母来表示进制：

• $B$：Binary（二进制）
  例如：$1011B$ 表示二进制的 $1011$
• $O$：Octal（八进制）
  例如：$17O$ 表示八进制的 $17$
• $D$：Decimal（十进制）
  例如：$125D$ 表示十进制的 $125$（通常也可以不写 $D$）
• $H$：Hexadecimal （十六进制）
  例如：$2EH$ 表示十六进制的 $2E$

说明：
$B/O/D/H$ 是一种“标注方式”，常见于书本、题面、笔记；在 C++ 代码里一般不会直接写 $1011B$ 这种形式（除非当作字符串处理）。

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2.2 编程里常见前缀：$0b$、$0$、$0x$（重点）

（1）$0b$：二进制前缀

• 写法：$0b1011$
• 解释：这是二进制的 $1011$

（2）$0$：八进制前缀

• 写法：$0123$
• 解释：这是八进制的 $123$

重要提醒：
在 C/C++ 中，数字前面如果写了一个 $0$（并且后面还有数字），就会被当作八进制。
例如：程序里的 $010$ 表示八进制的 $10$，换成十进制是 $8$。

（3）$0x$：十六进制前缀

• 写法：$0x2E$、$0xFF$、$0x1A3F$
• 解释：这是十六进制的数

说明：
$0x$ 也可以写成 $0X$（大写 $X$）；十六进制中可以用 $A\sim F$ 或 $a\sim f$（大小写都可以）。

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2.3 举个例子

• $1011B = 0b1011$（都表示二进制 $1011$）
• $17O = 017$（都表示八进制 $17$）
• $125D = 125$（都表示十进制 $125$）
• $2EH = 0x2E$（都表示十六进制 $2E$）

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三、整数部分的进制转换

3.1 十进制 $\rightarrow$ 其他进制（整数）

方法：除基取余，倒序排列

将十进制整数 $N$ 转为 $base$ 进制：
1）$N \div base$ 得到“商”和“余数”。
2）余数就是结果的最后一位，记录下来。
3）把商当作新的 $N$，继续除。
4）当商变为 $0$ 时停止。
5）把所有余数“从后往前”写出来（倒序），得到结果。

示例：$13$ 转二进制（$base=2$）

$13 \div 2 = 6$ …… $1$
$6 \div 2 = 3$ …… $0$
$3 \div 2 = 1$ …… $1$
$1 \div 2 = 0$ …… $1$
倒序：$1101$
结论：$13$（十进制）$=$ $1101$（二进制）

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3.2 其他进制 → 十进制（整数）

一个 $base$ 进制数写成：$a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0$

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3.2.1 方法 1：按位权展开（从右到左“数字 × 位权”相加）

规则：

• 最右边一位的位权是 $base^0$
• 右数第二位的位权是 $base^1$
• 右数第三位的位权是 $base^2$
• ……依次类推

十进制值就是把每一位“数字 $\times$ 位权”相加：

$$\text{十进制值}=a_0\cdot base^0+a_1\cdot base^1+a_2\cdot base^2+\cdots+a_{n-1}\cdot base^{n-1}$$

示例 1：把 $1101$（二进制）转十进制

这里 $base=2$，从右往左写位权：

• 最右边 $1$：$1\times 2^0=1$
• 再往左 $0$：$0\times 2^1=0$
• 再往左 $1$：$1\times 2^2=4$
• 最左边 $1$：$1\times 2^3=8$

相加：$8+4+0+1=13$
结论：$1101_2=13_{10}$

示例 2：把 $2E$（十六进制）转十进制

这里 $base=16$，并且 $E=14$

从右往左：

• 最右边 $E$：$14\times 16^0=14$
• 再往左 $2$：$2\times 16^1=32$

相加：$32+14=46$
结论：$2E_{16}=46_{10}$

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3.2.2 方法 2：从左到右“乘 base 加当前位”（秦九韶法）

把 $a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1a_0$ 当成从左到右读入：

1. 先令 $ans=0$
2. 每读到一位 $a_i$：

$$ans = ans \times base + a_i$$

3. 读完所有位后，$ans$ 就是十进制值

本质等价于：

$$(((a_{n-1})\cdot base + a_{n-2})\cdot base + a_{n-3})\cdots + a_0$$

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示例 3：把 $1101$（二进制）从左到右转十进制

这里 $base=2$，从左到右读：$1,1,0,1$

• 初始：$ans=0$
• 读到 $1$：$ans=0\times 2+1=1$
• 读到 $1$：$ans=1\times 2+1=3$
• 读到 $0$：$ans=3\times 2+0=6$
• 读到 $1$：$ans=6\times 2+1=13$

结论：$1101_2=13_{10}$

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示例 4：把 $2E$（十六进制）从左到右转十进制

这里 $base=16$，$E=14$，从左到右读：$2,E$

• 初始：$ans=0$
• 读到 $2$：$ans=0\times 16+2=2$
• 读到 $E(14)$：$ans=2\times 16+14=46$

结论：$2E_{16}=46_{10}$

四、小数部分的进制转换

4.1 十进制小数 $\rightarrow$ $base$ 进制小数

方法：乘基取整，顺序排列

对十进制小数 $x$（$0\le x < 1$）：
1）$x \times base$
2）取“整数部分”作为小数点后的下一位
3）保留小数部分继续
4）重复若干次或小数部分为 $0$

示例：$0.625$（十进制）转二进制（$base=2$）

$0.625 \times 2 = 1.25$，取 $1$，剩 $0.25$
$0.25 \times 2 = 0.5$，取 $0$，剩 $0.5$
$0.5 \times 2 = 1.0$，取 $1$，剩 $0$
结论：$0.625$（十进制）$=$ $0.101$（二进制）

重要提醒：
有些小数会“无限循环”，例如 $0.1$（十进制）转二进制不会有限结束。
因此题目通常会要求：保留 $N$ 位或允许误差。

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4.2 $base$ 进制小数 $\rightarrow$ 十进制小数

以二进制为例，小数点后：

• 第 $1$ 位表示 $\dfrac{1}{2}$
• 第 $2$ 位表示 $\dfrac{1}{4}$
• 第 $3$ 位表示 $\dfrac{1}{8}$
• 以此类推

示例：$0.101$（二进制）转十进制
$= 1\times \dfrac{1}{2} + 0\times \dfrac{1}{4} + 1\times \dfrac{1}{8}$
$= 0.5 + 0 + 0.125$
$= 0.625$

【前置知识点】
1、数学

【后置衔接知识点】
1、位运算

【思维导图】

【题目知识点分类】